El Hotel Infinito de Hilbert

¿Qué es el infinito? ¿Es infinito el número de granos de arena de una playa, o el de estrellas que observamos en el cielo? David Hilbert, un enorme matemático alemán, explicaba el criterio de infinito usando como ejemplo un hotel de infinitas habitaciones, al que llegaban diferentes proporciones de usuarios. Un hotel similar, ¿podría tener todas sus habitaciones ocupadas? Bienvenidos al Enorme Hotel de Hilbert.

El enorme matemático alemán David Hilbert surgió el 23 de enero de 1862 en Königsberg (Prusia Oriental). Se lo reconoce internacionalmente como uno de los matemáticos más predominantes del siglo XIX y principios del XX, y ha contribuido a esa ciencia construyendo conceptos como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los argumentos del exámen servible. Logró aportes significativos a la infraestructura matemática que se requiere para la mecánica cuántica y la relatividad general, y también algunos historiadores afirman que halló las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein, aunque esto jamás fué probado. En 1900 anunció un grupo de 23 inconvenientes matemáticos que establecieron el curso de parte importante de la exploración matemática del siglo XX. Parte de su trabajo se relacionó con la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor, enseñando algunas de las paradojas del infinito, en las que ya había reparado Galileo.

El Hotel Infinito de Hilbert

Para argumentar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba comunmente el ejemplo de un hotel muy particular, uno que tenía infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4… y de esta forma hasta el infinito. Lo primero que debemos acordarse es que “infinito” no significa “un número grande”. Si fuese de esta forma, siempre tendríamos la posibilidad de hallar un número algo más grande (“un número grande” +1) que lo superase. Aclarado esto, tenemos la posibilidad de intentar abarcar las paradojas que expone el Gran Hotel de Hilbert.

Infinito + 1

Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes pretenciones de alojarse en él, pero está con un letrero en la puerta que avisa que está terminado. De todos métodos, escoge ingresar y ver si hay alguna oportunidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. De manera rápida, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la cuarto 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y de esta forma sucesivamente. Cuando todos los usuarios se han movido de cuarto, la primera queda utilizable para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué sucedió con el pasajero que estaba en el último cuarto, dado que en un hotel común se hubiese quedado sin lugar. No obstante, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo de esta forma como “último cuarto”, por lo cual ese inconveniente no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” en el final.

Este mecanismo de correr a los usuarios hacia los cuartos con números más importantes puede aplicarse todas las ocasiones que sea primordial para alojar algún número plus de usuarios. Si llegasen 10, 20 o 256.345 usuarios, bastaría con desplazar ese número de cuartos a todas la gente alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya terminado, llegasen infinitos usuarios más?

Hotel infinito, usuarios infinitos

Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el gerente de una empresa de viajes con un inconveniente. Tenia una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y de esta forma se lo desarrollo a la astuta recepcionista. No podia recurrir al truco previo, dado que los usuarios a desplazar jamás hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus novedosas habitaciones. No obstante, ha podido solucionar el inconveniente. Sencillamente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la cuarto correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su cuarto de hoy. De esa forma todos los huéspedes se fueron a vivir a una cuarto par, y las infinitas habitaciones impares han quedado libres. De esta forma, los infinitos turistas lograron alojarse sin inconvenientes. ¿No es asombroso?

Hotel infinito y usuarios infinitos en autobuses infinitos

De esta forma planteado, parecería que el hotel no puede llenarse jamás. Imaginemos por un instante que al Enorme Hotel llegasen infinitos autobuses con infinitos usuarios cada uno. ¿Podríamos alojarlos en un hotel que “solo” tuviese infinitas habitaciones? El inconveniente exigió que la capaz recepcionista demorase unos cuantos segundos en hallar una satisfacción. Se acomodó los lentes, se arrimó al intercomunicador, y le pidió a todos los usuarios que estaban en una cuarto cuyo número fuese primo (números solo divisibles por si mismos o por la unidad), o alguna capacidad de estos, que calculasen el resultado de subir el número 2 a la capacidad correspondiente al número de la cuarto donde estaban y se cambiasen a esa cuarto. Esto ocasionó algún que otro revuelo entre los usuarios, pero por último todos los implicados en el cambio llegaron a su novedosa cuarto.

Hecho esto, la recepcionista sonrío con aires de suficiencia y asignó a todos los autobuses un número primo (distinto de 1), y a todos los turistas de todas las excursiones un número impar. Logró que cada uno de los recientes usuarios calculasen el numero de cuarto que le correspondía subiendo el número primo correspondiente a su colectivo al número impar que le tocó. Ya que hay una cantidad infinito de números primos, y un número infinito de números impares, se pudo hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que “solo” tiene un número infinito de habitaciones.

Números transfinitos

El relato previo podría inducir a reflexionar que no probablemente halla un infinito más grande que otro. Pero no es de esta forma. Georg Cantor (1845-1918), otro matemático alemán, halló que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño o -matemáticamente hablando- no tienen el mismo cardinal. Entre otras cosas, el grupo de los racionales es numerable, oséa, del mismo tamaño que el grupo de los naturales, en tanto que el de los reales no es así. Hay, entonces, numerosos infinitos, más importantes los unos que los otros. En medio de estos infinitos, inclusive hay tan enormes que no tienen correo en el planeta real.

Estos infinitos conforman la “terrible dinastía” -como la nombró el escritor argentino Jorge Luis Borges– de los números transfinitos. Cantor designo estos “infinitos grados de infinitud” con la letra hebrea álef (de ahí el encabezado del popular cuento de Borges) y los que corresponden subíndices. Álef subcero (o álef-0) es el fácil infinito de los números naturales, que Hilbert utilizó como base para las paradojas de su Enorme Hotel. Álef-1 es el infinito de los números reales, que tienen dentro a los irracionales y los trascendentes, como pi, y no son numerables. Hay infinitos “Álef”, y conforman un criterio cuya comprensión acostumbra demandar varias horas de meditación de parte de los sencillos fatales.

David Hilbert murió el 14 de febrero de 1943 en Göttingen, Alemania, y aseguran que su espíritu acostumbra aparecerse por las noches en alguna de las infinitas habitaciones de su Enorme Hotel.